Trigonometria Exemplos

$\cos (a) < \sin (a)$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (a)$ .

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $\cos (a)$ .

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Etapa 2.2

Reescreva a expressão.

$1 < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Etapa 3

Converta de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ em $\tan (a)$ .

$1 < \tan (a)$

Etapa 4

Reescreva de forma que $\tan (a)$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$\tan (a) > 1$

Etapa 5

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $a$ de dentro da tangente.

$a > \arctan (1)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$a > \frac{π}{4}$

Etapa 7

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$a = π + \frac{π}{4}$

Etapa 8

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 8.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 8.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 8.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 8.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$a = \frac{5 π}{4}$

Etapa 9

Encontre o período de $\tan (a)$ .

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Etapa 9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 9.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 9.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10

O período da função $\tan (a)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$a = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as respostas.

$a = \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$a = 2$

Etapa 13.1.2

Substitua $a$ por $2$ na desigualdade original.

$\cos (2) < \sin (2)$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $- 0.41614683$ é menor do que o lado direito $0.90929742$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.2

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ Verdadeiro

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{4} + π n < a < \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15