Trigonometria Exemplos

$\csc^{5} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Etapa 1

Fatore $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $\csc (x)$ de $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $\csc (x)$ de $\csc^{5} (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $\csc (x)$ de $- 4 \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4 = 0$

Etapa 1.1.3

Fatore $\csc (x)$ de $\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4$ .

$\csc (x) (\csc^{4} (x) - 4) = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $\csc^{4} (x)$ como ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \csc^{2} (x)$ e $b = 2$ .

$\csc (x) ((\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2)) = 0$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc^{2} (x) + 2 = 0$

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Etapa 3

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Etapa 3.2

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 4

Defina $\csc^{2} (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $\csc^{2} (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\csc^{2} (x) - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\csc^{2} (x) = 2$

Etapa 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Etapa 4.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 4.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 4.2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 4.2.5

Resolva $x$ em $\csc (x) = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Etapa 4.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

O valor exato de $arccsc (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.5.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.5.4

Simplifique $π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.5.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 4.2.5.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 4.2.5.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 4.2.5.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.5.6

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.6

Resolva $x$ em $\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Etapa 4.2.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

O valor exato de $arccsc (- \sqrt{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 4.2.6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 4.2.6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 4.2.6.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 4.2.6.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 4.2.6.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.6.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 4.2.6.6.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 4.2.6.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 4.2.6.7

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.7

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.2.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$