Trigonometria Exemplos

$2 \cos^{2} (2 x) - 1 = \sin (4 x)$

Etapa 1

Subtraia $\sin (4 x)$ dos dois lados da equação.

$2 \cos^{2} (2 x) - 1 - \sin (4 x) = 0$

Etapa 2

Simplifique $2 \cos^{2} (2 x) - 1 - \sin (4 x)$ .

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Etapa 2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 (2 x)) - \sin (4 x) = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\cos (4 x) - \sin (4 x) = 0$

Etapa 3

Divida cada termo na equação por $\cos (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\cos (4 x)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Etapa 5

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Etapa 6

Converta de $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ em $\tan (4 x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (4 x) = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Etapa 7

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Etapa 8

Separe as frações.

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x)}$

Etapa 9

Converta de $\frac{1}{\cos (4 x)}$ em $\sec (4 x)$ .

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (4 x)$

Etapa 10

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (4 x) = 0 \sec (4 x)$

Etapa 11

Multiplique $0$ por $\sec (4 x)$ .

$1 - \tan (4 x) = 0$

Etapa 12

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (4 x) = - 1$

Etapa 13

Divida cada termo em $- \tan (4 x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 13.1

Divida cada termo em $- \tan (4 x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (4 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 13.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (4 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 13.2.2

Divida $\tan (4 x)$ por $1$ .

$\tan (4 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 13.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (4 x) = 1$

Etapa 14

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$4 x = \arctan (1)$

Etapa 15

Simplifique o lado direito.

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Etapa 15.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Etapa 16

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{4}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 16.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{4}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Etapa 16.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 16.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Etapa 16.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Etapa 16.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 16.3.2

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 16.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Etapa 16.3.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Etapa 17

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$4 x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 18

Resolva $x$ .

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Etapa 18.1

Simplifique.

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Etapa 18.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 18.1.2

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 18.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 18.1.4

Some $π \cdot 4$ e $π$ .

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Etapa 18.1.4.1

Reordene $π$ e $4$ .

$4 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 18.1.4.2

Some $4 \cdot π$ e $π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Etapa 18.2

Divida cada termo em $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 18.2.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Etapa 18.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 18.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 18.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Etapa 18.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Etapa 18.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 18.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 18.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 18.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 4}$

Etapa 18.2.3.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$x = \frac{5 π}{16}$

Etapa 19

Encontre o período de $\tan (4 x)$ .

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Etapa 19.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 19.2

Substitua $b$ por $4$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 4 |}$

Etapa 19.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{π}{4}$

Etapa 20

O período da função $\tan (4 x)$ é $\frac{π}{4}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{4}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{4}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 21

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}$ , para qualquer número inteiro $n$