Trigonometria Exemplos

$2 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $2 \sin^{2} (x)$ por $2 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 3

Some $2$ e $1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = - 2$ , $b = - 6$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 3)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot 3$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.3

Some $36$ e $24$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Etapa 7.1.4.1

Fatore $4$ de $60$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{- 2}$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Etapa 9

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ .

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Etapa 11.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$ .

$x = 1.11910076$

Etapa 12.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Etapa 12.4

Resolva $x$ .

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Etapa 12.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Etapa 12.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.11910076$ .

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Etapa 12.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.11910076$

Etapa 12.4.2.2

Subtraia $1.11910076$ de $6.2831853$ .

$x = 5.16408454$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$