Trigonometria Exemplos

${(- \sqrt{3} - i)}^{4}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

${(- \sqrt{3})}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 {\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Etapa 2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 2.1.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.4.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$3^{2} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.6

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.7

Multiplique ${(- 1)}^{3}$ por $- 1$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.7.1

Mova $- 1$ .

$9 + 4 (- {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.7.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

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Etapa 2.1.7.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 + 4 ({(- 1)}^{1 + 3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.7.3

Some $1$ e $3$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$9 + 4 (1 {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.9

Multiplique ${\sqrt{3}}^{3}$ por $1$ .

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.11

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$9 + 4 \sqrt{27} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.12

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.1.12.1

Fatore $9$ de $27$ .

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.12.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.14

Multiplique $3$ por $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.15

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.16

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.17

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.18

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.1.18.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.18.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.18.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.18.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.18.4.1

Cancele o fator comum.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.18.4.2

Reescreva a expressão.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.18.5

Avalie o expoente.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.19

Multiplique $6$ por $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.20

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.21

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 (1 i^{2}) + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.22

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.23

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.24

Multiplique $18$ por $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.25

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.26

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} ({(- 1)}^{3} i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.27

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.28

Fatore $i^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.29

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.30

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- - i) + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.31

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (1 i) + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.32

Multiplique $i$ por $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- i)}^{4}$

Etapa 2.1.33

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} i^{4}$

Etapa 2.1.34

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1 i^{4}$

Etapa 2.1.35

Multiplique $i^{4}$ por $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

Etapa 2.1.36

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

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Etapa 2.1.36.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.36.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

Etapa 2.1.36.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $18$ de $9$ .

$12 \sqrt{3} i - 9 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Etapa 2.2.2

Subtraia $4 \sqrt{3} i$ de $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Some $- 9$ e $1$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Etapa 2.2.3.2

Reordene $8 \sqrt{3} i$ e $- 8$ .

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$