Trigonometria Exemplos

$\cos (\arctan (\frac{x}{2}))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{x}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{x}{2})$ . Portanto, $\cos (\arctan (\frac{x}{2}))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Etapa 2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}$

Etapa 2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{4 + x^{2}}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $4 + x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}$

Etapa 2.5.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}$

Etapa 2.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}$

Etapa 2.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Etapa 2.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Etapa 3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Etapa 6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Etapa 6.2

Eleve $\sqrt{4 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Etapa 6.3

Eleve $\sqrt{4 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{4 + x^{2}}}^{1}}$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}}$

Etapa 6.6

Reescreva ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}$ como $4 + x^{2}$ .

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Etapa 6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 + x^{2}}$ como ${(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{({(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{1}}$

Etapa 6.6.5

Simplifique.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{4 + x^{2}}$