Trigonometria Exemplos

$\cot (- \frac{5 π}{12})$

Etapa 1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cot (\frac{19 π}{12})$

Etapa 2

O valor exato de $\cot (\frac{19 π}{12})$ é $- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{19 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cot (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$

Etapa 2.2

Aplique a identidade recíproca.

$\frac{1}{\tan (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})}$

Etapa 2.3

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.4

Change the $\pm$ to $-$ because cotangent is negative in the fourth quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 2.5.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.2.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 2.5.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.3.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}$

Etapa 2.5.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}}$

Etapa 2.5.3.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}$

Etapa 2.5.3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}$

Etapa 2.5.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}$

Etapa 2.5.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}$

Etapa 2.5.4.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}}$

Etapa 2.5.4.3

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}}$

Etapa 2.5.4.4

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}}$

Etapa 2.5.4.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}}$

Etapa 2.5.4.6

Simplifique.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}}$

Etapa 2.5.4.7

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Etapa 2.5.4.8

Expanda $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.4.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{\sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}$

Etapa 2.5.4.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}$

Etapa 2.5.4.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Etapa 2.5.4.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.4.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.4.9.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Etapa 2.5.4.9.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Etapa 2.5.4.9.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}}$

Etapa 2.5.4.9.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}}$

Etapa 2.5.4.9.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}}$

Etapa 2.5.4.9.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}}$

Etapa 2.5.4.9.2

Some $4$ e $3$ .

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}}$

Etapa 2.5.4.9.3

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Forma decimal:

$- 0.26794919 \dots$