Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{π}{12}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{5 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (\frac{5 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Divida $\frac{5 π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.7

Simplifique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.2.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.7.1.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.2.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.1

Expanda $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.5

Multiplique $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 1.4.2.1.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.5.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.6

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.4.2.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.10

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.11

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.4.2.1.11.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.11.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.13

Multiplique $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 1.4.2.1.13.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.13.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.13.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.13.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.14

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.4.2.1.14.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.14.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.14.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.14.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.2.1.14.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.14.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.14.5

Avalie o expoente.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.1.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.3

Some $- 2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 0}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.4.2.4

Some $4$ e $0$ .

$\frac{4}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

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Etapa 1.5.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.6.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{1}{4} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{1}{4} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.6.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{5 π}{12})$

Etapa 1.7

O valor exato de $\sin (\frac{5 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Etapa 1.7.1

Divida $\frac{5 π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Etapa 1.7.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.7.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.7.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.7.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.7.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 1.7.7

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.7.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.7.7.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 1.7.7.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 1.7.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.7.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.7.7.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.7.7.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.7.7.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Etapa 1.7.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Etapa 1.8

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Etapa 1.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{1}{4} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Etapa 1.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.9.1

Expanda $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) - \sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Etapa 1.9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Etapa 1.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.9.2.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.3

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.9.2.1.3.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.6

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{36} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.7

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.9

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Etapa 1.9.2.1.9.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.9.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.9.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.9.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.9.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.9.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2^{1} - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 1 \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{2} \sqrt{6}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.12

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Etapa 1.9.2.1.12.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.12.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{12}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.13

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.1.13.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.13.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Etapa 1.9.2.1.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Etapa 1.9.2.1.15

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 - 2 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 1.9.2.2

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{0 + 6 - 2}{16}$

Etapa 1.9.2.3

Some $0$ e $6$ .

$\frac{1}{4} + \frac{6 - 2}{16}$

Etapa 1.9.2.4

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{16}$

Etapa 1.10

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 (1)}{16}$

Etapa 1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 1}{4}$

Etapa 2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{4}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Etapa 2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$