Trigonometria Exemplos

$\sin (9 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$9 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$9 x = - \frac{π}{3}$

Etapa 3

Divida cada termo em $9 x = - \frac{π}{3}$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $9 x = - \frac{π}{3}$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{9}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{9}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{9 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$x = - \frac{π}{27}$

Etapa 4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$9 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$9 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 5.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$9 x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $9 x = \frac{4 π}{3}$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $9 x = \frac{4 π}{3}$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{9}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{9}$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{1}{9}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 9}$

Etapa 5.3.3.2.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$x = \frac{4 π}{27}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (9 x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $9$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 9 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $9$ é $9$ .

$\frac{2 π}{9}$

Etapa 7

Some $\frac{2 π}{9}$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.1

Some $\frac{2 π}{9}$ com $- \frac{π}{27}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{27} + \frac{2 π}{9}$

Etapa 7.2

Para escrever $\frac{2 π}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{27}$

Etapa 7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{π}{27}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{27} - \frac{π}{27}$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{27}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{27}$

Etapa 7.5.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{27}$

Etapa 7.6

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{27}$

Etapa 8

O período da função $\sin (9 x)$ é $\frac{2 π}{9}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{9}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{27} + \frac{2 π n}{9}, \frac{5 π}{27} + \frac{2 π n}{9}$ , para qualquer número inteiro $n$