Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x + \frac{π}{3} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.2

Para escrever $- \frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{6}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x = \frac{π - 2 π}{6}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2 π$ de $π$ .

$2 x = \frac{- π}{6}$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x = - \frac{π}{6}$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Etapa 5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.1.2

Combine frações.

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Etapa 6.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 6.1.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.2

Para escrever $- \frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$2 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{5 π - π \cdot 2}{6}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x = \frac{5 π - 2 π}{6}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $2 π$ de $5 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{6}$

Etapa 6.2.6

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 6.2.6.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$2 x = \frac{3 (π)}{6}$

Etapa 6.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$2 x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Etapa 6.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Etapa 6.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7

Encontre o período de $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 8

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.1

Some $π$ com $- \frac{π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Etapa 8.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 8.3

Combine frações.

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Etapa 8.3.1

Combine $π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Etapa 8.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Etapa 8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{12}$

Etapa 9

O período da função $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$