Trigonometria Exemplos

$\sin (3 x) - \sin (x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Aplique a fórmula do arco triplo do seno.

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 1.2

Subtraia $\sin (x)$ de $3 \sin (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$2 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cdot 1 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cdot 1$ .

$2 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Etapa 4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $- 2 \sin^{2} (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $- 2 \sin^{2} (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $- 2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (x) = - 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin^{2} (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin^{2} (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.7

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 5.2.7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.7.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.4

Simplifique $π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 5.2.7.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.7.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.7.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.7.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.7.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 5.2.8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.2.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.8.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.8.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 5.2.8.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.8.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 5.2.8.4.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.2.8.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.8.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.2.8.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 5.2.8.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.8.6.3

Combine frações.

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Etapa 5.2.8.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.8.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.2.8.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.8.6.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 5.2.8.6.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 5.2.8.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 5.2.8.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$