Trigonometria Exemplos

$\cos (2 x) - \cos (6 x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (6 x) = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $2$ de $6 x$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (2 (3 x)) = 0$

Etapa 1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1

Use a fórmula do arco triplo para transformar $\cos (3 x)$ em $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.2

Reescreva ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ como $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.3

Expanda $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos^{3} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.4.1.2.1

Mova $\cos^{3} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 {\cos (x)}^{3 + 3}) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.2.3

Some $3$ e $3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{6} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.4

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.4.1.4.1

Mova $\cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.4.2

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{3} (x)$ .

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Etapa 1.1.3.4.1.4.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.4.3

Some $1$ e $3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.5

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.6

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{3} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.4.1.6.1

Mova $\cos^{3} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.6.2

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 1.1.3.4.1.6.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.6.3

Some $3$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.7

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.8

Multiplique $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

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Etapa 1.1.3.4.1.8.1

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.8.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.8.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.4.2

Subtraia $12 \cos^{4} (x)$ de $- 12 \cos^{4} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $16$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $- 24$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Etapa 1.1.3.6.3

Multiplique $9$ por $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x)) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Multiplique $32$ por $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Etapa 1.1.5.2

Multiplique $- 48$ por $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique $18$ por $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Etapa 1.1.5.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Etapa 1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.2.1

Combine os termos opostos em $2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1$ .

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Etapa 1.2.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2.1.2

Some $2 \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$2 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $18 \cos^{2} (x)$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $16 \cos^{2} (x)$ de $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $16 \cos^{2} (x)$ de $- 16 \cos^{2} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $16 \cos^{2} (x)$ de $- 32 \cos^{6} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $16 \cos^{2} (x)$ de $48 \cos^{4} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $16 \cos^{2} (x)$ de $16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x))$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $16 \cos^{2} (x)$ de $16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x))$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Reordene os termos.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot - 1 = 2$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $3$ de $3 \cos^{2} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $3$ como $1$ mais $2$

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + (1 + 2) \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 1 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$16 \cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) - (- 2 \cos^{2} (x) + 1)) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Etapa 2.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Etapa 2.4

Fatore.

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Etapa 2.4.1

Fatore.

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Etapa 2.4.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = 1$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Etapa 2.4.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $\cos^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm 0$

Etapa 4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.2.7

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.2.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 5.2.7.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.7.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.2.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.8.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.8.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.8.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 5.2.8.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.8.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 5.2.8.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 5.2.8.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.2.8.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.8.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $\cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) = - 1$

Etapa 6.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 6.2.4

$x = 2 π - π$

Etapa 6.2.5

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 6.2.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) = 1$

Etapa 7.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 7.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 7.2.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.2.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.2

Consolide $π + 2 π n$ e $2 π n$ em $π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.3

Consolide $\frac{π}{2} + π n$ e $π n$ em $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.4

Consolide $\frac{π n}{2}$ e $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ em $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.5

Consolide $\frac{π n}{4}$ e $2 π + 2 π n$ em $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}$ , para qualquer número inteiro $n$