Trigonometria Exemplos

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$3 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 1$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.1.3

Some $1$ e $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Etapa 6

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ .

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Etapa 8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ .

$x = 0.87507547$

Etapa 8.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

Etapa 8.4

Resolva $x$ .

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Etapa 8.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.87507547$

Etapa 8.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

Etapa 8.4.3

Subtraia $0.87507547$ de $3.14159265$ .

$x = 2.26651717$

Etapa 8.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ .

$x = - 0.44921499$

Etapa 9.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

Etapa 9.4

Resolva $x$ .

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Etapa 9.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.44921499$

Etapa 9.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

Etapa 9.4.3

Some $3.14159265$ e $0.44921499$ .

$x = 3.59080764$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 9.6.1

Some $2 π$ com $- 0.44921499$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.44921499 + 2 π$

Etapa 9.6.2

Subtraia $0.44921499$ de $2 π$ .

$5.83397031$

Etapa 9.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 5.83397031$

Etapa 9.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n, 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$