Trigonometria Exemplos

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) = \tan (x) + 1$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $\tan (x)$ dos dois lados da equação.

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) = 1$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Combine $2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.3

Multiplique $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Etapa 2.1.3.1

Combine $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Etapa 2.2.2

Separe as frações.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Etapa 2.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Etapa 2.2.4

Divida $2 (\sin (x))$ por $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Etapa 2.2.5

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 3

Fatore $2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1$ .

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Etapa 3.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 \sin (x) (\tan (x) + 1) - (\tan (x) + 1) = 0$

Etapa 3.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\tan (x) + 1$ .

$(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 5

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\tan (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 5.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.5.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 5.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.2.7.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 5.2.7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.3

Combine frações.

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Etapa 5.2.7.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.7.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $2 \sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 \sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 \sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 6.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 6.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$