Trigonometria Exemplos

$\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} ((x - 5) (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 5) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{7} (x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{7} (x^{2} + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5) = 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $5 x$ de $x$ .

$\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{1} = x^{2} - 4 x - 5$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 4 x - 5 = 7^{1}$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 7$

Etapa 3.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 x - 5 - 7 = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $7$ de $- 5$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $x^{2} - 4 x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 6, 2$

Etapa 3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 2$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$ verdadeira.

$x = 6$