Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 3

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cos (x) + \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.4

Separe as frações.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 3.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 3.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Etapa 3.2.8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 3.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 3.2.10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.10.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.11

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 3.2.12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.2.12.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 3.2.12.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 3.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.14

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.2.14.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 3.2.14.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.14.3

Combine frações.

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Etapa 3.2.14.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.14.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 3.2.14.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.14.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 3.2.14.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 3.2.14.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.2.15

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (x) - \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4.2.3

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4.2.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4.2.6

Separe as frações.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 4.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 4.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 4.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Etapa 4.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 1$

Etapa 4.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.11.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Etapa 4.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 4.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.13.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.15

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 4.2.15.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.15.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.15.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 4.2.15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.15.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 4.2.15.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 4.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 4.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.17

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$