Trigonometria Exemplos

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x} - e^{- x}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $4 (e^{x} - e^{- x})$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ .

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

Etapa 3.2

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

Etapa 3.3

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

Etapa 3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

Etapa 3.4.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{u}$ .

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

Etapa 3.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

Etapa 3.5

Resolva $u$ .

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Etapa 3.5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 3.5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 3.5.2

Multiplique cada termo em $4 u - \frac{4}{u} = 1$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique cada termo em $4 u - \frac{4}{u} = 1$ por $u$ .

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.2.2.1.1.1

Mova $u$ .

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

Etapa 3.5.2.2.1.1.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{u}$ para o numerador.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Etapa 3.5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Etapa 3.5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.3.1

Multiplique $u$ por $1$ .

$4 u^{2} - 4 = u$

Etapa 3.5.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.5.3.1

Subtraia $u$ dos dois lados da equação.

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

Etapa 3.5.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.3.3

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 1$ e $c = - 4$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.5.3.4

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.3.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.5.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

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Etapa 3.5.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.5.3.4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.5.3.4.1.3

Some $1$ e $64$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.5.3.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

Etapa 3.5.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Etapa 3.6

Substitua $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Etapa 3.7

Resolva $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

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Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

Etapa 3.7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Etapa 3.7.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Etapa 3.7.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Etapa 3.7.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Etapa 3.8

Substitua $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Etapa 3.9

Resolva $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

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Etapa 3.9.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Etapa 3.9.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

Etapa 3.9.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.9.4

Não há uma solução para $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Nenhuma solução

Etapa 3.10

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Forma decimal:

$x = 0.12467674 \dots$