Trigonometria Exemplos

$3 \sin (x) + 5 = - 2 \sin (x)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $\sin (x)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Some $2 \sin (x)$ aos dois lados da equação.

$3 \sin (x) + 5 + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 1.2

Some $3 \sin (x)$ e $2 \sin (x)$ .

$5 \sin (x) + 5 = 0$

Etapa 2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$5 \sin (x) = - 5$

Etapa 3

Divida cada termo em $5 \sin (x) = - 5$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $5 \sin (x) = - 5$ por $5$ .

$\frac{5 \sin (x)}{5} = \frac{- 5}{5}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sin (x)}{5} = \frac{- 5}{5}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 5}{5}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida $- 5$ por $5$ .

$\sin (x) = - 1$

Etapa 4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 6

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 7.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 9.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 9.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.3

Combine frações.

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Etapa 9.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 9.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$