Trigonometria Exemplos

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = - \cos (x)$

Etapa 1

Substitua $- \sin^{2} (x)$ por $- (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - (1 - \cos^{2} (x)) = - \cos (x)$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Etapa 2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Etapa 2.3

Multiplique $- - \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Etapa 3

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Etapa 3.2

Some $0$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Etapa 4

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} = - (u)$

Etapa 5

Some $u$ aos dois lados da equação.

$u^{2} + u = 0$

Etapa 6

Fatore $u$ de $u^{2} + u$ .

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Etapa 6.1

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u + u = 0$

Etapa 6.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Etapa 6.3

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Etapa 6.4

Fatore $u$ de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$u (u + 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 8

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 9

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $u (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, - 1$

Etapa 11

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 0, - 1$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\cos (x) = 0$ .

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Etapa 13.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 13.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 13.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 13.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 13.4.2

Combine frações.

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Etapa 13.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 13.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 13.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 1$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 14.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 14.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$