Trigonometria Exemplos

$2 \cos (x) = \sec (x)$

Etapa 1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = \sec (x)$ por $2 \cos (x)$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = \sec (x)$ por $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Separe as frações.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Etapa 1.3.3

Reescreva $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 1.3.4

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 1.3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.5.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Etapa 1.3.5.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Etapa 1.3.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 1.3.5.4

Some $1$ e $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3.6

Combine frações.

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Etapa 1.3.6.1

Combine.

$1 = \frac{1 \cdot 1}{2 \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 = \frac{1}{2 \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3.7

Multiplique por $1$ .

$1 = \frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Etapa 1.3.8

Separe as frações.

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3.9

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x)$

Etapa 1.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \sec^{2} (x)$

Etapa 1.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{\sec^{2} (x)}{2}$

Etapa 2

Reescreva a equação como $\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sec^{2} (x) = 2 \cdot 1$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Etapa 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

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Etapa 8.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

O valor exato de $arcsec (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 8.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 8.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 8.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 8.4.2

Combine frações.

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Etapa 8.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 8.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 8.4.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 8.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

O valor exato de $arcsec (- \sqrt{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 9.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 9.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 9.4.2

Combine frações.

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Etapa 9.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 9.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 9.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 9.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$