Trigonometria Exemplos

$\csc^{2} (x) - 4 = 0$

Etapa 1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\csc^{2} (x) = 4$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{4}$

Etapa 3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\csc (x) = \pm 2$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\csc (x) = 2$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\csc (x) = - 2$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\csc (x) = 2, - 2$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (x) = 2$

$\csc (x) = - 2$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\csc (x) = 2$ .

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Etapa 6.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (2)$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $arccsc (2)$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 6.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 6.4

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 6.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\csc (x) = - 2$ .

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Etapa 7.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- 2)$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $arccsc (- 2)$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 7.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 7.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.6.3

Combine frações.

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Etapa 7.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 7.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.6.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 7.6.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 7.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 7.7

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as soluções.

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Etapa 9.1

Consolide $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.2

Consolide $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$