Trigonometria Exemplos

\csc^{2} (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Etapa 1

Some

2

$2$ aos dois lados da equação.

\csc^{2} (x) = 2

$\csc^{2} (x) = 2$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

\csc (x) = \pm \sqrt{2}

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de

\pm

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de

\pm

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver

x

$x$ .

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 5

Resolva

x

$x$ em

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro da cossecante.

x = arccsc (\sqrt{2})

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O valor exato de

arccsc (\sqrt{2})

$arccsc (\sqrt{2})$ é

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

π

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

x = π - \frac{π}{4}

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4

Simplifique

π - \frac{π}{4}

$π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Para escrever

π

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Combine

π

$π$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova

4

$4$ para a esquerda de

π

$π$ .

x = \frac{4 \cdot π - π}{4}

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.4.3.2

Subtraia

π

$π$ de

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.5

Encontre o período de

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.5.2

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.5.4

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Etapa 5.6

O período da função

\csc (x)

$\csc (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 6

Resolva

x

$x$ em

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro da cossecante.

x = arccsc (- \sqrt{2})

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

O valor exato de

arccsc (- \sqrt{2})

$arccsc (- \sqrt{2})$ é

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ .

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

2 π

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = 2 π + \frac{π}{4} + π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Subtraia

2 π

$2 π$ de

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 6.4.2

O ângulo resultante de

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que

2 π

$2 π$ e coterminal com

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.5

Encontre o período de

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Etapa 6.6

Some

2 π

$2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Some

2 π

$2 π$ com

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

- \frac{π}{4} + 2 π

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 6.6.2

Para escrever

2 π

$2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Combine

2 π

$2 π$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 6.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.4.1

Multiplique

4

$4$ por

2

$2$ .

\frac{8 π - π}{4}

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 6.6.4.2

Subtraia

π

$π$ de

8 π

$8 π$ .

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 6.6.5

Liste os novos ângulos.

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 6.7

O período da função

\csc (x)

$\csc (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 7

Liste todas as soluções.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro

n

$n$