Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (- x) - 1)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique $7 (\cos (- x) - 1)$ .

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Etapa 1.1.1

Como $\cos (- x)$ é uma função par, reescreva $\cos (- x)$ como $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (x) - 1)$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) + 7 \cdot - 1$

Etapa 1.1.3

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) - 7$

Etapa 2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $7 \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) = - 7$

Etapa 2.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

Etapa 3

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Some $1$ e $7$ .

$8 - \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) = 0$

Etapa 4.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.2.1

Reordene os termos.

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

Etapa 4.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $- 7$ de $- 7 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva $- 7$ como $1$ mais $- 8$

$- \cos^{2} (x) + (1 - 8) \cos (x) + 8 = 0$

Etapa 4.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Etapa 4.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 8 (- \cos (x) + 1) = 0$

Etapa 4.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 8 = 0$

Etapa 4.4

Defina $- \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $- \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $- \cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \cos (x) = - 1$

Etapa 4.4.2.2

Divida cada termo em $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.4.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2.2.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Etapa 4.4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 4.4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.4.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.4.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 4.4.2.6

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 4.4.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.4.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.5

Defina $\cos (x) + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $\cos (x) + 8$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + 8 = 0$

Etapa 4.5.2

Resolva $\cos (x) + 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.5.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) = - 8$

Etapa 4.5.2.2

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 8$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Consolide as respostas.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$