Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

Etapa 1

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 5 (\cos (x) + 1)$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 5 ((u) + 1)$

Etapa 4

Simplifique $5 (u + 1)$ .

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Etapa 4.1

Reescreva.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 5 (u + 1)$

Etapa 4.2

Simplifique somando os zeros.

$- u^{2} + 1 = 5 (u + 1)$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5 \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5$

Etapa 5

Subtraia $5 u$ dos dois lados da equação.

$- u^{2} + 1 - 5 u = 5$

Etapa 6

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- u^{2} + 1 - 5 u - 5 = 0$

Etapa 7

Subtraia $5$ de $1$ .

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} - 5 u - 4$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore $- 1$ de $- 5 u$ .

$- u^{2} - (5 u) - 4 = 0$

Etapa 8.1.3

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$- u^{2} - (5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

Etapa 8.1.4

Fatore $- 1$ de $- u^{2} - (5 u)$ .

$- (u^{2} + 5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

Etapa 8.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} + 5 u) - 1 (4)$ .

$- (u^{2} + 5 u + 4) = 0$

Etapa 8.2

Fatore.

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Etapa 8.2.1

Fatore $u^{2} + 5 u + 4$ usando o método AC.

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Etapa 8.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $5$ .

$1, 4$

Etapa 8.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((u + 1) (u + 4)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (u + 1) (u + 4) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Etapa 10

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 10.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 11

Defina $u + 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 11.1

Defina $u + 4$ como igual a $0$ .

$u + 4 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$u = - 4$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $- (u + 1) (u + 4) = 0$ verdadeiro.

$u = - 1, - 4$

Etapa 13

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - 1, - 4$

Etapa 14

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = - 4$

Etapa 15

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 1$ .

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Etapa 15.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 15.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 15.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 15.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 15.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 15.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 15.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 15.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 4$ .

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Etapa 16.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 4$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 17

Liste todas as soluções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$