Trigonometria Exemplos

$(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Expanda $(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $\cot (x)$ por $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Reescreva $- 1 \csc (x)$ como $- \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Fatore $\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1$ .

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Etapa 2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - (\csc (x) + 1) = 0$

Etapa 2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\csc (x) + 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $\csc (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\csc (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\csc (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\csc (x) = - 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- 1)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

O valor exato de $arccsc (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 4.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 4.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 4.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 4.2.7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 4.2.7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.7.3

Combine frações.

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Etapa 4.2.7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.7.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.8

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\cot (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cot (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cot (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cot (x) = 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (1)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

O valor exato de $arccot (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 5.2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 5.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.5.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 5.2.5.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.7

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$