Trigonometria Exemplos

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = 1$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \arctan (1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{π}{4}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{π}{6}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.3

Para escrever $- \frac{π}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{12}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - 2 π}{12}$

Etapa 3.6.3

Subtraia $2 π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{12}$

Etapa 4

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{12}$

Etapa 5

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{12}$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{π}{12}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (6)}$

Etapa 5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 6

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = π + \frac{π}{4}$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.1.2

Combine frações.

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Etapa 7.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 7.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 7.1.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{5 π}{4}$

Etapa 7.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.2.1

Subtraia $\frac{π}{6}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.2

Para escrever $\frac{5 π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.3

Para escrever $- \frac{π}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.4.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.2.4.3

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Etapa 7.2.4.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Etapa 7.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Etapa 7.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.6.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 2}{12}$

Etapa 7.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 2 π}{12}$

Etapa 7.2.6.3

Subtraia $2 π$ de $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{12}$

Etapa 7.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Etapa 7.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Etapa 7.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{13 π}{12}$

Etapa 7.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.2.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$x = 2 \frac{13 π}{2 (6)}$

Etapa 7.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 6}$

Etapa 7.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{13 π}{6}$

Etapa 8

Encontre o período de $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 8.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \cdot 2$

Etapa 8.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 π$

Etapa 9

O período da função $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{13 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$