Trigonometria Exemplos

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = - 1$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \arctan (- 1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} = \frac{- π - π}{4}$

Etapa 3.3

Subtraia $π$ de $- π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 2 π}{4}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $- 2 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{4}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 (2)}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{2}$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Etapa 4

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = - π$

Etapa 5

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 6.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.3.1.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - π}{4}$

Etapa 6.3.1.3

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

Etapa 6.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 6.3.1.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

Etapa 6.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 6.3.2

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = π$

Etapa 7

Encontre o período de $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 7.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \cdot 2$

Etapa 7.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 π$

Etapa 8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.1

Some $2 π$ com $- π$ para encontrar o ângulo positivo.

$- π + 2 π$

Etapa 8.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$π$

Etapa 8.3

Liste os novos ângulos.

$x = π$

Etapa 9

O período da função $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as respostas.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$