Trigonometria Exemplos

${(\cos (x) + \cos (y))}^{2} + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\cos (x) + \cos (y))}^{2}$ como $(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ .

$(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.2

Expanda $(\cos (x) + \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) + \cos (y)) + \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $\cos (y) \cos (y)$ .

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Etapa 1.3.1.2.1

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{1} (y) \cos (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.1.2.2

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + {\cos (y)}^{1 + 1} + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (y) \cos (x) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores de $\cos (y) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \cos (y) + \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.3.3

Some $\cos (x) \cos (y)$ e $\cos (x) \cos (y)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$

Etapa 1.4

Reescreva ${(\sin (x) - \sin (y))}^{2}$ como $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$

Etapa 1.5

Expanda $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) - \sin (y))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) (\sin (x) - \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) - \sin (y))$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) - \sin (y))$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Etapa 1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 1.6.1.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Etapa 1.6.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Etapa 1.6.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Etapa 1.6.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (y)) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Etapa 1.6.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) (- \sin (y))$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $- \sin (y) (- \sin (y))$ .

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Etapa 1.6.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + 1 \sin (y) \sin (y)$

Etapa 1.6.1.3.2

Multiplique $\sin (y)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin (y) \sin (y)$

Etapa 1.6.1.3.3

Eleve $\sin (y)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{1} (y) \sin (y)$

Etapa 1.6.1.3.4

Eleve $\sin (y)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y)$

Etapa 1.6.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + {\sin (y)}^{1 + 1}$

Etapa 1.6.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) + \sin^{2} (y)$

Etapa 1.6.2

Reordene os fatores de $- \sin (y) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Etapa 1.6.3

Subtraia $\sin (x) \sin (y)$ de $- \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Etapa 2

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Etapa 3

Reorganize os termos.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Etapa 4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y)$

Etapa 5

Mova $\sin^{2} (y)$ .

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \cos^{2} (y) + \sin^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y)$

Etapa 6

Reorganize os termos.

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) - 2 \sin (x) \sin (y)$

Etapa 7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (x) \cos (y) + 1 - 2 \sin (x) \sin (y)$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$2 \cos (x) \cos (y) + 2 - 2 \sin (x) \sin (y)$