Trigonometria Exemplos

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Etapa 1

Avalie $\tan (112.5)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O valor exato de $\tan (112.5)$ é $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Reescreva $112.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

Etapa 2.1.2

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.7

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.12

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.13

Multiplique $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.14

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.15

Simplifique.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.16

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.17

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.17.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.17.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.18

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.4.19.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.5

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{2} + 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.19.5.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.5.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.5.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.5.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.19.5.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.19.5.4.4

Divida $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.20

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.4.21

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Etapa 2.3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Etapa 2.5

Reescreva ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ como $3 + 2 \sqrt{2}$ .

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Etapa 2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ como ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Etapa 2.5.5

Simplifique.

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

Etapa 2.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Etapa 2.9

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Etapa 3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ por $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

Etapa 5

Multiplique $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ por $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

Etapa 6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $- 2 + 2 \sqrt{2}$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $2$ de $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

Etapa 8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Etapa 8.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $- 2 + 2 \sqrt{2}$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore $2$ de $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

Etapa 9.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

Etapa 10

Reescreva $- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ como $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ .

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

Etapa 11

Multiplique $0.60355339$ por $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$- (- 1 \cdot 0.5)$

Etapa 12

Multiplique $- (- 1 \cdot 0.5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $0.5$ .

$- - 0.5$

Etapa 12.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.5$ .

$0.5$