Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (4 x) - 1 = 0$

Etapa 1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sin^{2} (4 x) = 1$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (4 x) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (4 x) = \pm 1$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (4 x) = 1$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (4 x) = - 1$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (4 x) = 1, - 1$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (4 x) = 1$

$\sin (4 x) = - 1$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\sin (4 x) = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$4 x = \arcsin (1)$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 6.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Etapa 6.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$4 x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.5.1.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.5.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.4.1

Reordene $π$ e $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 6.5.1.4.2

Subtraia $π$ de $2 \cdot π$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 6.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 6.5.2.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.5.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Etapa 6.6

Encontre o período de $\sin (4 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.6.2

Substitua $b$ por $4$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Etapa 6.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Etapa 6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Etapa 6.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{2}$

Etapa 6.7

O período da função $\sin (4 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\sin (4 x) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$4 x = \arcsin (- 1)$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2}$

Etapa 7.3

Divida cada termo em $4 x = - \frac{π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Divida cada termo em $4 x = - \frac{π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Etapa 7.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Etapa 7.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 7.3.3.2

Multiplique $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

Etapa 7.3.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Etapa 7.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 7.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 7.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 7.5.3

Divida cada termo em $4 x = \frac{3 π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{3 π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Etapa 7.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Etapa 7.5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Etapa 7.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 7.5.3.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.5.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Etapa 7.6

Encontre o período de $\sin (4 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.6.2

Substitua $b$ por $4$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Etapa 7.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Etapa 7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Etapa 7.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{2}$

Etapa 7.7

Some $\frac{π}{2}$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Some $\frac{π}{2}$ com $- \frac{π}{8}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

Etapa 7.7.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

Etapa 7.7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

Etapa 7.7.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

Etapa 7.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

Etapa 7.7.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

Etapa 7.7.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{8}$

Etapa 7.7.6

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{8}$

Etapa 7.8

O período da função $\sin (4 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , para qualquer número inteiro $n$