Trigonometria Exemplos

$\cos (105) \sin (75)$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (105)$ é $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (75) \sin (75)$

Etapa 1.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \cos (30 + 45) \sin (75)$

Etapa 1.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \sin (75)$

Etapa 1.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Etapa 1.8

Simplifique $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Etapa 1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Etapa 1.8.1.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Etapa 1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Etapa 1.8.1.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Etapa 1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (75)$

Etapa 1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (75)$

Etapa 2

O valor exato de $\sin (75)$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Etapa 2.1

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (30 + 45)$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Etapa 2.3

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Etapa 2.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

Etapa 2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

Etapa 2.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.7

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 2.7.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.7.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 2.7.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 2.7.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Etapa 2.7.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Etapa 2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Etapa 3

Multiplique $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Expanda $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 4.2.1.5.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.2.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.9

Multiplique $6$ por $6$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.10

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.11

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.12

Multiplique $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 4.2.1.12.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Etapa 4.2.1.12.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

Etapa 4.2.1.13

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.2.1.13.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Etapa 4.2.1.13.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Etapa 4.2.1.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Etapa 4.2.1.15

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{0 - 2 + 6}{16}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$- \frac{- 2 + 6}{16}$

Etapa 4.2.4

Some $- 2$ e $6$ .

$- \frac{4}{16}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

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Etapa 5.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{16}$

Etapa 5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$