Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 2.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 2.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Etapa 5.2

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Etapa 5.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Etapa 5.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Etapa 5.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8}$

Etapa 5.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8}$

Etapa 5.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{8}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{3} + 2$ e $8$ .

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Etapa 6.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8}$

Etapa 6.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8}$

Etapa 6.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8}$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)}$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Forma decimal:

$0.68301270 \dots$