Trigonometria Exemplos

$\cos (67.5) \cos (22.5)$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (67.5)$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $67.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

Etapa 1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Etapa 1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Etapa 2

O valor exato de $\cos (22.5)$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $22.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Etapa 2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Etapa 2.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Etapa 2.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 2.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.5.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 2.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3

Expanda $(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.4.1.3.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.4.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $2 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.4

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$0.35355339 \dots$