Trigonometria Exemplos

$\cot (22.5)$

Etapa 1

Reescreva $22.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cot (\frac{45}{2})$

Etapa 2

Aplique a identidade recíproca.

$\frac{1}{\tan (\frac{45}{2})}$

Etapa 3

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

Etapa 4

Altere o $\pm$ para $+$ , porque a cotangente é positiva no primeiro quadrante.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

Etapa 5

Simplifique $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Etapa 5.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 5.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Etapa 5.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Etapa 5.3.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Etapa 5.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.9

Combine $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.10

Encontre o denominador comum.

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Etapa 5.3.10.1

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.10.2

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.10.3

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.10.4

Escreva $- \sqrt{2}$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.10.5

Multiplique $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.10.6

Multiplique $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.12.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.5

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.3.12.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.5.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.12.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Etapa 5.3.12.8.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Etapa 5.3.13

Some $4$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.14

Subtraia $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.15

Cancele o fator comum de $6 - 4 \sqrt{2}$ e $2$ .

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Etapa 5.3.15.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 5.3.15.2

Fatore $2$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 5.3.15.3

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 5.3.15.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.15.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Etapa 5.3.15.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Etapa 5.3.15.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Etapa 5.3.15.4.4

Divida $3 - 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Forma decimal:

$2.41421356 \dots$