Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Etapa 5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Etapa 6

Multiplique $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 6.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Etapa 6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Etapa 6.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 7.2

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 7.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 7.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Etapa 7.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Etapa 7.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Etapa 7.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Etapa 7.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Etapa 7.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Etapa 7.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Etapa 7.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{3} - 2$ e $8$ .

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Etapa 8.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Etapa 8.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Etapa 8.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Etapa 8.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Etapa 8.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Etapa 8.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Forma decimal:

$0.18301270 \dots$