Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{7 π}{12})$

Etapa 2

O valor exato de $\cos (\frac{7 π}{12})$ é $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Etapa 2.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Etapa 2.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 2.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}})$

Etapa 2.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

Etapa 2.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

Etapa 2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}})$

Etapa 2.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

Etapa 2.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

Etapa 2.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Etapa 2.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Etapa 3

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4 \cdot 2}$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Etapa 5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Etapa 6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Forma decimal:

$- 0.06698729 \dots$