Trigonometria Exemplos

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (y))$

Etapa 1

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

As funções seno e arco seno são inversos.

$x \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Etapa 2.2

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$x y + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Etapa 2.3

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Portanto, $\cos (\arcsin (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

Etapa 2.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x y + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

Etapa 2.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (y))$

Etapa 2.6

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ , $(y, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (y)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (y))$ é $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - y^{2}}$

Etapa 2.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

Etapa 2.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = y$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Etapa 2.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + y) (1 - y)}$