Trigonometria Exemplos

$\sin (2 \arctan (x))$

Etapa 1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (\arctan (x)) \cos (\arctan (x))$

Etapa 2

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, x)$ . Portanto, $\sin (\arctan (x))$ é $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 3

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) \cos (\arctan (x))$

Etapa 4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Etapa 4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 4.6.5

Simplifique.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 5

Combine $2$ e $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 (x \sqrt{1 + x^{2}})}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

Etapa 6

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, x)$ . Portanto, $\cos (\arctan (x))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Etapa 7.1

Fatore $\sqrt{1 + x^{2}}$ de $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$