Trigonometria Exemplos

$\cos (2 \arccos (x))$

Etapa 1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

Etapa 2.2

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Etapa 2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Etapa 2.5

Reescreva ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Etapa 2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Etapa 2.5.5

Simplifique.

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

Etapa 2.6

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Etapa 2.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Etapa 2.7.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

Etapa 2.7.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.1.5.1

Mova $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

Etapa 2.7.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

Etapa 2.7.2

Some $- x$ e $x$ .

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

Etapa 2.7.3

Some $1$ e $0$ .

$x^{2} - (1 - x^{2})$

Etapa 2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

Etapa 2.10

Multiplique $- - x^{2}$ .

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} - 1 + x^{2}$

Etapa 3

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 1$