Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (\frac{π}{12})$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin^{2} (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

${(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Etapa 1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Etapa 1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Etapa 2.3

Reescreva ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 3

Expanda $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 4.1.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.9

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Etapa 4.1.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.9.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.10

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.1.10.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.10.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.13

Multiplique $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 4.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Etapa 4.1.13.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Etapa 4.1.13.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Etapa 4.1.13.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Etapa 4.1.13.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Etapa 4.1.13.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Etapa 4.1.14

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.1.14.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Etapa 4.1.14.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Etapa 4.1.14.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Etapa 4.1.14.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.14.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Etapa 4.1.14.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Etapa 4.1.14.5

Avalie o expoente.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Etapa 4.2

Some $6$ e $2$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.3

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $8 - 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

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Etapa 5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 5.2

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Etapa 5.3

Fatore $4$ de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Etapa 5.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.06698729 \dots$