Trigonometria Exemplos

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$ por $\frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$ .

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$

Etapa 3

Combine.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x) - 1)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x) \cdot - 1}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Etapa 4.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - 1 \cdot \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Etapa 4.3

Reescreva $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores em $\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Expanda $(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x) - 1) - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x)) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

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Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Etapa 6.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 6.3

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Etapa 6.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Etapa 7

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 7.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Etapa 7.2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Etapa 7.3

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x)}$

Etapa 7.4

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 7.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.2

Multiplique $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.2.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.2.5

Some $1$ e $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.3

Para escrever $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\cos (x)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.4.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.5

Some $1$ e $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.6

Fatore $- \sin (x)$ de $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

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Etapa 8.6.1

Fatore $- \sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.6.2

Fatore $- \sin (x)$ de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.6.3

Fatore $- \sin (x)$ de $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Etapa 8.7

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.7.2

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 8.7.3

Fatore $\sin (x)$ de ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 8.7.4

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 8.7.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Etapa 8.8

Cancele o fator comum de ${\cos (x)}^{2}$ .

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Etapa 8.8.1

Fatore ${\cos (x)}^{2}$ de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Etapa 8.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Etapa 8.8.3

Reescreva a expressão.

$- 1 (1 + \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Etapa 8.9

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Etapa 8.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Etapa 8.11

Reescreva $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$(- 1 - \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Etapa 8.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(- 1 - \cos (x)) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Etapa 8.13

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 (- \frac{1}{\sin (x)}) - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Etapa 8.14

Multiplique $- 1 (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

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Etapa 8.14.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Etapa 8.14.2

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Etapa 8.15

Multiplique $- \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 9

Agora, considere o lado direito da equação.

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Etapa 10

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 10.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\tan (x)}$

Etapa 10.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 11.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 11.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 11.4

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 12

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$ é uma identidade