Trigonometria Exemplos

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\csc (x)} = \sec (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\csc (x)}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\csc (x)}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\csc (x)}$

Etapa 2.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x)$

Etapa 2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Etapa 2.5.1

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Etapa 2.5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Etapa 2.5.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Etapa 2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Etapa 2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)} + \cos (x)$

Etapa 4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \cos (x)$

Etapa 4.2

Para escrever $\cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{1}{\cos (x)}$ como $\sec (x)$ .

$\sec (x)$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\csc (x)} = \sec (x)$ é uma identidade