Trigonometria Exemplos

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = \frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$ por $\frac{- \csc (x) + 1}{- \csc (x) + 1}$ .

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1} \cdot \frac{- \csc (x) + 1}{- \csc (x) + 1}$

Etapa 3

Combine.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x) + 1)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x) \cdot 1}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\cot (x)$ por $1$ .

$\frac{\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores em $\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x)$ .

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Expanda $(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x) + 1) + 1 (- \csc (x) + 1)}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + 1 (- \csc (x) + 1)}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + 1 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

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Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Etapa 6.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 6.3

Fatore $- 1$ de $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Etapa 6.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Etapa 7

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 7.1

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Etapa 7.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Etapa 7.3

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

Etapa 7.4

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Etapa 7.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.2

Multiplique $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.2.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.2.5

Some $1$ e $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.3

Para escrever $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\sin (x)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.4.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.4.5

Some $1$ e $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.6

Fatore $\cos (x)$ de $- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

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Etapa 8.6.1

Fatore $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.6.2

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.6.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Etapa 8.7

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 8.7.2

Fatore $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 8.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Etapa 8.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Etapa 8.8

Cancele o fator comum de ${\sin (x)}^{2}$ .

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Etapa 8.8.1

Fatore ${\sin (x)}^{2}$ de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Etapa 8.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Etapa 8.8.3

Reescreva a expressão.

$(- 1 + \sin (x)) \frac{- 1}{\cos (x)}$

Etapa 8.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(- 1 + \sin (x)) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 8.10

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 8.11

Multiplique $- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ .

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Etapa 8.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 8.11.2

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Etapa 8.12

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9

Agora, considere o lado esquerdo da equação.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Etapa 10

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 10.1

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Etapa 10.2

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 11.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 11.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 11.4

Reescreva $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 12

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = \frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$ é uma identidade