Trigonometria Exemplos

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x) = \frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 2

Some as frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores em $\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 6.1

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 7.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ para o numerador.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Some $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.3

Some $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $0$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.4

Fatore $\sin (x)$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)$ .

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Etapa 7.1.4.1

Fatore $\sin (x)$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.4.2

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.4.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.5

Para escrever $\cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.7

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 7.1.7.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.7.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.7.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.2

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.4

Combine.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ e ${\sin (x)}^{2}$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Etapa 7.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.5.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Etapa 7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Etapa 7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 7.6

Multiplique $1 + {\cos (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 8

Agora, considere o lado esquerdo da equação.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

Etapa 9

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 9.1

Escreva $\cot (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec (x) \csc (x)$

Etapa 9.2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Etapa 9.3

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 11

Some as frações.

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Etapa 11.1

Para escrever $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 11.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sin (x) \cos (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 11.2.2

Reordene os fatores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 12

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Etapa 14

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x) = \frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ é uma identidade