Trigonometria Exemplos

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos (2 x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reorganize os termos.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Etapa 2.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.6

Expanda $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.3

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 2.7.1.5.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5.7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.1.5.9

Some $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.2

Some $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.7.3

Some $1$ e $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Etapa 2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.9

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.10

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ para o numerador.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.10.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.10.3

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 2.11

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 x)$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos (2 x)$ é uma identidade