Trigonometria Exemplos

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$ como $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ .

$(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Etapa 2.2

Expanda $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x)) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $\cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.3.1.1.2

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (2 x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Eleve $\sin (2 x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.3.1.2.2

Eleve $\sin (2 x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)$

Etapa 2.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}$

Etapa 2.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $\sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Etapa 2.3.3

Some $\cos (2 x) \sin (2 x)$ e $\cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Etapa 2.4

Mova $\sin^{2} (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.5

Reorganize os termos.

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Etapa 2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1

Reordene $2 \cos (2 x)$ e $\sin (2 x)$ .

$1 + \sin (2 x) (2 \cos (2 x))$

Etapa 2.7.2

Reordene $\sin (2 x)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (2 x) \cos (2 x)$

Etapa 2.7.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$1 + \sin (2 (2 x))$

Etapa 2.7.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$1 + \sin (4 x)$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$ é uma identidade