Trigonometria Exemplos

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\sec (u)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\tan (u)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\sec (u) + \tan (u))$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\sec (u)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \tan (u))$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\tan (u)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Etapa 2.3

Expanda $(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.4

Combine os termos opostos em $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

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Etapa 2.4.1

Reorganize os fatores nos termos $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ e $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.4.2

Subtraia $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ de $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + 0 - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.4.3

Some $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

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Etapa 2.5.1.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (u)}$ por $\frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.5.1.2

Eleve $\cos (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.5.1.3

Eleve $\cos (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.5.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\cos (u)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.5.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

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Etapa 2.5.2.1

Multiplique $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ por $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Etapa 2.5.2.2

Eleve $\sin (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Etapa 2.5.2.3

Eleve $\sin (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Etapa 2.5.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{{\sin (u)}^{1 + 1}}{\cos (u) \cos (u)}$

Etapa 2.5.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Etapa 2.5.2.6

Eleve $\cos (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos (u)}$

Etapa 2.5.2.7

Eleve $\cos (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)}$

Etapa 2.5.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{{\cos (u)}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.2.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Etapa 2.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Etapa 2.8

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (u)$ .

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Etapa 2.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Etapa 2.8.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$ é uma identidade