Trigonometria Exemplos

$\sec (- \frac{7 π}{12})$

Etapa 1

Substitua $\sec (- \frac{7 π}{12})$ por uma expressão equivalente $\frac{1}{\cos (- \frac{7 π}{12})}$ usando as identidades fundamentais.

$\frac{1}{\cos (- \frac{7 π}{12})}$

Etapa 2

Use uma fórmula de soma ou diferença no denominador.

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Etapa 2.1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $- \frac{7 π}{12}$ pode ser dividido em $\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6}$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.2

Use a fórmula da diferença do cosseno para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.3

Remova os parênteses.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Etapa 2.4.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4.4.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4.4.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4.4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Etapa 2.4.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.4.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 2.4.8

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.4.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.4.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ por $1$ .

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ por $\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ por $\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{(- \sqrt{6} + \sqrt{2}) (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}$

Etapa 3.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique.

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.8

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.8.2

Divida $- \sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$- 3.86370330 \dots$