Trigonometria Exemplos

$\sec (- \frac{5 π}{12})$

Etapa 1

Substitua $\sec (- \frac{5 π}{12})$ por uma expressão equivalente $\frac{1}{\cos (- \frac{5 π}{12})}$ usando as identidades fundamentais.

$\frac{1}{\cos (- \frac{5 π}{12})}$

Etapa 2

Use uma fórmula de soma ou diferença no denominador.

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Etapa 2.1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $- \frac{5 π}{12}$ pode ser dividido em $\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4}$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.2

Use a fórmula da diferença do cosseno para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.3

Remova os parênteses.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.4.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{4})}$

Etapa 2.4.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Etapa 2.4.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 2.4.8

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 2.4.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.4.8.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.4.8.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.4.8.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $1$ .

$\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{4}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(- \sqrt{2} + \sqrt{6}) (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Etapa 3.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique.

$\frac{4 (- \sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 4}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$

Etapa 3.8.2

Reescreva $- 1 \cdot (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$ como $- (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$- (- \sqrt{2} - \sqrt{6})$

Etapa 3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$- - \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Etapa 3.10

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Etapa 3.11

Multiplique $- - \sqrt{6}$ .

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Etapa 3.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $\sqrt{6}$ por $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{6}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{2} + \sqrt{6}$

Forma decimal:

$3.86370330 \dots$