Trigonometria Exemplos

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (22.5)$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $22.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Etapa 1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Etapa 1.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Etapa 1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

Etapa 1.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Etapa 1.5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Etapa 1.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Etapa 2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Etapa 3

Reescreva ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 + \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ como ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Etapa 3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Etapa 3.5

Simplifique.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Etapa 4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 9

Reescreva $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.3

Some $0$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$